Hareket Bir İllüzyon Mu? Zeno Paradoksları ve Mantığın Sınırları

M.Ö. 5. yüzyılda Elealı filozof Zeno, sağduyuya tamamen aykırı bir iddia ile ortaya çıktı: "Hareket yoktur, değişim bir illüzyondur." Bunu kanıtlamak için de, mantıksal olarak çürütülmesi binlerce yıl süren ve bugün bile beyin yakan hikayeler, yani paradokslar kurguladı. Zeno Paradoksları, gerçek hayatta gördüğümüz (bir okun uçması veya birinin koşması gibi) eylemlerin, mantık düzleminde "sonsuzluk" kavramı devreye girdiğinde nasıl imkansız hale geldiğini gösterir.

Zeno'nun temel argümanı şuydu: Uzay ve zaman sonsuz parçaya bölünebiliyorsa, bir noktanın diğerine ulaşması için sonsuz sayıda adımı tamamlaması gerekir. Sonsuz sayıda adım ise sonlu bir sürede bitirilemez. Öyleyse, aslında hiç kimse hiçbir yere gidemez; sadece gidiyormuş gibi görünürüz. Matematik dünyası, bu "mantıksal tıkanıklığı" çözmek için Calculus (Limit ve Türev) keşfedilene kadar, yani yaklaşık 2000 yıl boyunca çaresiz kalmıştır.

Aşil ve Kaplumbağa Paradoksu

Zeno, Antik Yunan'ın en hızlı koşucusu Aşil (Achilles) ile yavaşlığıyla bilinen bir kaplumbağayı yarıştırır. Aşil centilmenlik yapıp kaplumbağaya 100 metre avans verir.

• Paradoks: Aşil koşmaya başlar ve kaplumbağanın başladığı 100. metreye gelir. Ancak bu sırada kaplumbağa durmamış, 10 metre ilerlemiştir. Aşil bu 10 metreyi koştuğunda, kaplumbağa 1 metre daha ilerlemiştir. Aşil o 1 metreyi kapattığında, kaplumbağa 10 cm daha gitmiştir.
  

• Sorun: Aşil, kaplumbağanın daha önce bulunduğu noktaya her vardığında, kaplumbağa mutlaka biraz daha ileride olacaktır. Mesafe sürekli küçülür ama (matematiksel olarak) asla sıfırlanmaz. Mantığa göre Aşil, kaplumbağaya sonsuza kadar yaklaşır ama onu asla geçemez.
  

Dikotomi (İkiye Bölme) Paradoksu

Bir odanın bir ucundan diğer ucuna yürümek istiyorsunuz.

• Paradoks: Hedefe varmadan önce yolun yarısını ($1/2$) gitmelisiniz. Yarısına varmadan önce, o yarının da yarısını ($1/4$) gitmelisiniz. Onun da öncesinde $1/8$'ini...
  

• Sorun: Geriye doğru bu mantığı işlettiğinizde, ilk adımı atabilmek için bile sonsuz sayıda küçük mesafeyi geçmeniz gerekir. Başlangıç noktası ile ilk hareket arasında sonsuz parça olduğu için, aslında harekete asla başlayamazsınız.
  

Matematik Bunu Nasıl Çözdü?

Zeno'nun hatası (veya o dönemin bilgi eksikliği), "Sonsuz sayıdaki parçanın toplamının, sonsuz bir büyüklük yapacağını" sanmasıydı. Ancak modern matematikteki Yakınsak Seriler kavramı bunu çürüttü.

Sonsuz bir seriyi topladığınızda sonuç her zaman sonsuz çıkmaz; bazen sonlu bir sayıya "yakınsar".

Örneğin Dikotomi paradoksundaki adımları toplayalım:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... = 1$$

Bu işlemin sonucu sonsuz değil, tam olarak 1'dir. Yani matematiksel olarak, sonsuz sayıda küçük adımı topladığınızda sonlu bir mesafe (odanın diğer ucu) ve sonlu bir zaman elde edersiniz. Aşil kaplumbağayı geçer, siz de odayı yürürsünüz; çünkü uzay sonsuz parçaya bölünebilse de, zamanın akışıyla bu limit tamamlanır.